INTEGRACIÓN NUMÉRICA

REGLA DE SIMPSON

Además de aplicar la regla trapezoidal con segmentos cada vez más finos, otra manera de obtener una estimación más exacta de una integral, es la de usar polinomios de orden superior para conectar los puntos. Por ejemplo, si hay un punto medio extra entre f(a) y f(b), entonces los tres puntos se pueden conectar con un polinomio de tercer orden.
A las fórmulas resultantes de calcular la integral bajo estos polinomios se les llaman Reglas de Simpson.

 

REGLA DE SIMPSON 1/3

La Regla de Simpson de 1/3 proporciona una aproximación más precisa, ya que consiste en conectar grupos sucesivos de tres puntos sobre la curva mediante parábolas de segundo grado, y sumar las áreas bajo las parábolas para obtener el área aproximada bajo la curva. Por ejemplo, el área contenida en dos fajas, bajo la curva f(X) en la fig. 2, se aproxima mediante el área sombreada bajo una parábola que pasa por los tres puntos:

(Xi , Yi) (Xi+1, Yi+1) (Xi+2, Yi+2)

Fig. 2
Por conveniencia al derivar una expresión para esta área, supongamos que las dos fajas que comprenden el área bajo la parábola se encuentran en lados opuestos del origen, como se muestra en la fig. 3. Este arreglo no afecta la generalidad de la derivación.
La forma general de la ecuación de la parábola de segundo grado que conecta los tres puntos es:

(7)

La integración de la ec. (7) desde - hasta proporciona el área contenida en las dos fajas mostradas bajo la parábola. Por lo tanto:

(8)

Fig. 3
La sustitución de los límites en la ec. (8) produce:

(9)

Las constantes a y c se pueden determinar sabiendo que los puntos , (0, Yi + 1 ), y deben satisfacer la ec. (7). La sustitución de estos tres pares de coordenadas en la ec. (7) produce:

(10)

La solución simultánea de estas ecuaciones para determinar las constantes a, b, c, nos lleva a:

(11)

La sustitución de la primera y tercera partes de la ec. (11) en la ec. (9) produce:

(12)

que nos da el área en función de tres ordenadas Yi, Y i+1, Y i+2 y el ancho de una faja.
Esto constituye la regla de Simpson para determinar el área aproximada bajo una curva contenida en dos fajas de igual ancho.
Si el área bajo una curva entre dos valores de X se divide en n fajas uniformes (n par), la aplicación de la ec. (12) muestra que:

(13)

Sumando estas áreas, podemos escribir:

(14)

o bien

(15)

en donde n es par.
La ec. (15) se llama Regla de Simpson de un Tercio para determinar el área aproximada bajo una curva. Se puede utilizar cuando el área se divide en un número par de fajas de ancho .
Si la función f(X) se puede expresar como una función matemática continua que tiene derivadas continuas f ' a , el error que resulta de aproximar el área verdadera de dos fajas bajo la curva f(X) comprendida entre Xi-1 y Xi+1 mediante el área bajo una parábola de segundo grado, se demuestra que es:

(16)

Este error por truncamiento es la cantidad que se debe agregar al área aproximada de dos fajas, que se obtiene mediante la regla de un tercio de Simpson, para obtener el área real bajo la curva en ese intervalo. El término mostrado del error por truncamiento generalmente no se puede valuar en forma directa. Sin embargo, se puede obtener una buena estimación de su valor para cada intervalo de dos fajas suponiendo que es suficientemente constante en el intervalo (se supone que las derivadas de orden superior son despreciables) y valuando para . La estimación del error por truncamiento para toda la integración se obtiene sumando las estimaciones correspondientes a cada dos fajas. Si la estimación del error total por truncamiento es mayor de lo que se puede tolerar, se deben utilizar intervalos de dos fajas menores. Considerando el error por redondeo que también aparece, existe un ancho óptimo de la faja para obtener un error total mínimo en la integración.

 

REGLA DE SIMPSON 3/8

La derivación de la Regla de los Tres Octavos de Simpson es similar a la regla de un tercio, excepto que se determina el área bajo una parábola de tercer grado que conecta 4 puntos sobre una curva dada. La forma general de la parábola de tercer grado es:

(17)

Fig. 4
En la derivación, las constantes se determinan requiriendo que la parábola pase a través de los cuatro puntos indicados sobre la curva mostrada en la fig. 4. El intervalo de integración es de - a , lo que produce:

(18)

que es la regla de los tres octavos de Simpson.
La regla de Simpson de 3/8 tiene un error por truncamiento de:

(19)

Por lo tanto es algo más exacta que la regla de 1/3.
La regla de Simpson de 1/3 es, en general, el método de preferencia ya que alcanza exactitud de tercer orden con tres puntos en vez de los cuatro puntos necesarios para la versión de 3/8. No obstante la regla de 3/8 tiene utilidad en las aplicaciones de segmentos múltiples cuando el número de fajas es impar.

EJEMPLO 1

Utilícese la regla trapezoidal de cuatro segmentos o fajas para calcular la integral de

desde a = 0 hasta b = 0.8 y calcular el error sabiendo que el valor correcto de la integral es 1.64053334.

 

SOLUCIÓN

n = 4

X		f(X)
0.0		0.200
0.2		1.288
0.4		2.456
0.6		3.464
0.8		0.232

usando la fórmula trapezoidal:

ex = 1.64053334 - 1.4848 = 0.15573334
e% = 9.5 %

 

EJEMPLO 2

Utilícese la regla de Simpson de 1/3 con n = 4 para calcular la integral del inciso anterior

 

SOLUCIÓN

n = 4

X		f(X)
0.0		0.200
0.2		1.288
0.4		2.456
0.6		3.464
0.8		0.232

usando la regla de Simpson de 1/3

ex = 1.64053334 - 1.62346667 = 0.01706667
e% = 1.04 %
 

EJEMPLO 3

Utilícese la regla de Simpson de 3/8 para calcular la integral anterior:

SOLUCIÓN

Como se requieren cuatro puntos o tres fajas para la regla de Simpson de 3/8, entonces:

X		f(X)
0.0000		0.20000000
0.2667		1.43286366
0.5333		3.48706521
0.8000		0.23200000

usando la ecuación de Simpson de 3/8

ex = 1.64053334 - 1.51917037 = 0.121164
e% = 7.4 %
 

EJEMPLO 4

Utilícese en conjunción las reglas de Simpson de 1/3 y 3/8 para integrar la misma función usando cinco segmentos.

SOLUCIÓN

Los datos necesarios para la aplicación de cinco segmentos (h = 0.16) son:

X		f(X)
0.00		0.20000000
0.16		1.29691904
0.32		1.74339328
0.48		3.18601472
0.64		3.18192896
0.80		0.23200000

La integral de los primeros dos segmentos se obtiene usando la regla de Simpson de 1/3:

Para los últimos tres segmentos, se usa la regla de Simpson de 3/8 para obtener:

La integral total se calcula sumando los dos resultados:
I = 0.38032370 + 1.26475346 = 1.64507716
ex = 1.64053334 - 1.64507716 = -0.00454383
e% = -0.28 %