MÉTODO DE APROXIMACIONES SUCESIVAS

MÉTODO DE APROXIMACIONES SUCESIVAS

Un problema que se presenta con frecuencia es encontrar las raíces de ecuaciones de la forma , donde f(x)=0 es una función real de una variable x, como un polinomio de x, o de una función trascendente.

Sea la ecuación general

f(x)=0

Se desea encontrar una raíz real. El primer paso consiste en transformar f(x) a una forma equivalente:

x=g(x)

El siguiente paso es "tantear" un valor para la raíz, se hace una observación directa de la ecuación, se denota este primer valor por xo.
Una vez que se tiene xo  se evalúa g(x) en xo, el resultado se denota por x1.

g(xo) = x1

El valor de  x1 comparado con  xo presenta los dos siguientes casos:

Caso1:

= xo

Esto indica que el valor  elegido es una raíz y el problema queda concluido, ya que se cumple:

f (Xo ) = 0

Caso 2:

X1 diferente de Xo

En este caso de obtiene  y además g(xo) = xo

En esas circunstancias se procede a una segunda evaluación de g(x), pero ahora en X1, se denota el resultado como  X2.

g(x1) = x2

Este proceso se repite y se obtiene un proceso iterativo hasta que

Xi+1 =Xi

Ejemplo:

Encontrar una raíz real de la ecuación: cos(x) - 3x =0

Solución:

x = cos(x) - 2x x = cos(x)/3

Xo=pi/8

i	Xi	g (Xi )	f (Xi )
0	/ 8	0.30796	0.25422
1	0.30796	0.31765	0.02907
2	0.31765	0.31666	0.00298
3	0.31666	0.31666	0.00031
4	0.31676	0.31675	0.00003

Solución X4 = 0.31675