Análisis Numérico.- Primer sesión de laboratorio.

Análisis Numérico.- Primer sesión de laboratorio.

Practica 1.-  Formulas iterativas para las raíces de 2 y 3 junto a la comprobación de las teorías de error en los cálculos para diviciones infinitas como un tercio, probando en una calculadora y en la hoja de calculo (Excel):

Marco teórico:

Las tablas babilónicas del (YBC 7289) (c. 2000–1650 a. C.) proporcionan una aproximación de  raiz de 2 en cuatro dígitos sexagesimales, que es similar a seis cifras decimales:

.Otra aproximación antigua a este número irracional se da en la antigua India por los textos matemáticos, el Sulbasutras (c. 800—200 a. C.) diciendo: Incrementa la longitud [del lado] por su tercera parte, y su tercera por su tres cuartas y su tercera por su treinta y cuatroava parte de cuatro.

  

El descubrimiento de la raíz cuadrada de 2 como un número irracional se atribuye generalmente al pitagórico Hipaso de Metaponto, quien fue el primero en producir la demostración (vía demostración geométrica) de la irracionalidad. La historia narra que precisamente descubrió la irracionalidad de la raíz de 2 cuando intentaba averiguar una expresión racional del mismo. Sin embargo Pitágoras creía en la definición absoluta de los números como media, y esto le obligaba a no creer en la existencia de los números irracionales. Por esta razón estuvo ya desde el principio en contra de esa demostración, por esta razón fue sentenciado a la pena capital por sus compañeros pitagóricos.

Algoritmo computacional

Existe una gran cantidad de algoritmos empleados la aproximación de la raíz cuadrada de 2. El más común de los algoritmos para averiguar una aproximación en computadores o calculadoras es el denominado método babilónico4 de cálculo de las raíces cuadradas, siendo éste uno de los muchos empleados para el cálculo de raíces cuadradas. Funciona como sigue:

Se toma en primer lugar un valor arbitrario, que denominaremos, F0; esta primera aproximación importa poco, es considerada sólo como un punto de comienzo del algoritmo y afecta en cuantas iteraciones debe hacer el algoritmo hasta alcanzar la aproximación con una precisión requerida. Entonces, empleando esta suposición inicial, se procede a iterar mediante la siguiente cómputo recursivo:

Cuanto más iteraciones se hagan mediante este algoritmo (es decir más cálculos con un valor de n grande), se obtendrá una mejor aproximación del valor real de raíz cuadrada de 2.

El valor de  ha sido calculado hasta 137.438.953.444 posiciones decimales por el equipo de Yasumasa Kanada en el año 1997. Entre las constantes matemáticas con cifras no periódicas, sólo π ha sido calculado con mayor precisión.

Desarrollo:

Comenzamos con una recapitulación de el procedimiento en nuestras calculadoras intuitivamente las iteraciones nos demostraron dos cuestiones dentro de la programación de los aparatos y a su vez la aproximación a el valor que para el programa cargado en ellas se toma como el exacto.

La primer observación es como la iteración en su empleo toma el valor anterior a su operación a pesar de valer su recursividad. Cuando comenzamos con el valor de uno en la raíz de 2, nuestros decimales parecen estar limitados a un cierto numero de ellos dentro de nuestras pantallas a pesar de la existencia de la notación científica y es que los desarrollos de estos cálculos es asta ahora aun infinito, entonces podemos destacar nuestro segunda comprobación el “ cero de maquina” que es un valor mas pequeño que el numero permitido limite en el operacional de la calculadora entonces al hacer alguna suma algebraica o diferencia de decimales observamos que encontraremos que las operaciones nos arrojaran uno enteros o ceros definitivos.

Y nuestras iteraciones entonces como en la siguiente tabla vemos que no se alejan mucho a la exageración de decimales ya que en estos casos los resultados pronto serán direccionados a  los casos de redondeo y eliminación por ceros de maquina.

Comprobamos todo nuestra teoría en la practica y cálculo de los tipos de error , en nuestro caso también conseguimos alterar la primer formula de raíces haciendo posible el calculo de raíz de 3 junto a sus tipos de error y sus propias comprobaciones y es que si miramos en la practica veremos que al restar la diferencia entre las raiz y su valor real que la maquina nos entrega miramos que enun momento tiende a ser cero la diferenciaque existe, por tanto para explicar esto procedemos con los caluculos de las diferencias de los numeros periodicos divisibles entoces entenderemos mejor por que algunos numeros se vuelven cero o no se contavilisa en la operacion su valor ya que los sistemas se  determinan por un numero de decimales y se limitan a eso.

En teoría el panorama personal debe abrirse mas pues dos cosas tan cotidianas e inofensivas son el producto de investigaciones pasadas y su adaptación a el poder aplicarse, un gran objeto entonces de partida para poder ser mas analistas en lo que parece ya establecido y puede engañarnos asta la fecha sin saberlo.

GUZMAN MONTIEL YENNY ALEJANDRA   grupo  4cm4