lunes, 10 de septiembre de 2012

Metodo Newton rhapson:

En análisis numérico, el método de Newton (conocido también como el método de Newton-Raphson o el método de Newton-Fourier) es un algoritmo eficiente para encontrar aproximaciones de los ceros o raíces de una función real. También puede ser usado para encontrar el máximo o mínimo de una función, encontrando los ceros de su primera derivada.

class metodos{
double T;

public:

void newt(char);

metodos();
};

int main (void){
metodos nr;
char m,N;
clrscr();

cout<<" Newton-Raphson"<
nr.newt(N);
getch();
return 0;
}

void metodos::newt(char N){
clrscr();
T=N;
NR(T);
}

metodos::metodos(){}

#ifndef NEWT_H
#define NEWT_H

void metodon(double,double);
void NR(double);
void NR(double X){

double n,L;
clrscr();
cout<<"Metodo de Newton-Raphson para encontrar las raices de la funcion"< cout<<"f(x)=x-cos(x)"< cout<<"Ingrese un numero para usar como Xo:"< cin>>X;
cout<<"Ahora ingrese iteraciones"< cin>>n;
cin>>X;
cin>>L;

metodon(X,L);
}

void metodon(double X,double L){
double Ea,C,T,F,U,W;

F= X - cos(X);
T= 1 + sin(X);
X= X -(F/T) ;

}while(Ea>L);
cout<}

#endif

Conclusion este metodo en particular en base a la formula que establese su desarrollo nos permite un camino didactico de el observar como se comienza a solucionar una raiz de cualquier funcion en este caso una especifica, de manera general pude comprender un poco mas la interaccion de la primer derivada ya que es hay donde por conosimiento se que existe el primer punto de inflexion o raiz e incluso un maximo entonce toma sentido saber lo que sucede cuando las iteraciones y el epcilon comienzan su recorrido en el calculo de este desarrollo, otro punto que me deja reflexion es como rhapson al definir la formula sabe que la sumatoria de los resultados sera lo que buscamos auque no obstante en un paquete computacional es mas sencillo y rapido al ser programado de manera correcta es a golpe de vista sencillo tambien ver como en el caso de serie de tylor este metodo es demasiado tedioso aunque muy ilustrativo en cada valor que se puede proponer ya que en los resultados demuestra como es que de comporta la funcion.

tercera sesion de laboratorio:

En esta sesion usamos el temorema de aproximacion de las raices por un metodo de prueba y error para nuestro polinomio propuesto siendo entonces un experimento procedimos a acwer su calculo con las restricciones que el mismo teorema implica:

observemos:

#include
#include
#include
#include

float Teorema (float a, float b);

int main (){
float x1, x2,rt,Pa,Pb,trm,mx1,mx2,Mx1;

cout<<"nuestro polinomio es: 5x^3+2x^2-8x+2 ";
do{

cout<<"propon un valor de a---> "; cin>>x1;

cout<<"propon un valor de b---> "; cin>>x2;

Pa=(5*x1*x1*x1)+(2*x1*x1)+(-8*x1)+2;
Pb=(5*x2*x2*x2)+(2*x2*x2)+(-8*x2)+2;

trm=Pa*Pb;

}while(trm>=0);

cout<<"sigiente iteracion";
mx1= Teorema( x1, x2);
return 0;
}

float Teorema (float x, float y) {
float a,b,xm,Pa,Pxm,trmx;
a=x;
b=y;

Pa=(5*a*a*a)+(2*a*a)+(-8*a)+2;
Pxm=(5*b*b*b)+(2*b*b)+(-8*b)+2;

trmx=Pa*Pxm;
return trmx;
}

conlclusion :

observamos que el teorema se restringe a un cambio de signo en el proceso de calculo de la rm o valor medio de prueba eso nos dice comos se va moviendo la raiz sin embargo este metodo tiene sus desventajas ya que sera solo un juego sin sentido cuando las raices son imaginarias y estas estan en un medio mapeado que no corresponde a el eje x y.

segunda sesion de laboratiorio:

En esta sesion comenzamos con el uso para muchos, si no es que para todos por primer vez de la paqueteria de geogebra:

http://www.geogebra.org/cms/

Como primer impresion obserbe un interfaz muy amigable, con algunas rutas de herramientas muy especificaces, por ejemplo en la primer pantalla de trabajo existe la posibilidad de describir un polinomio de manera textual y este es representado de manera grafica, directamente en un espectro de posiblidad muy grande en cualquier cuandrante. Continuando con la experecia de uso y bajo la idea de ser descubridores de su forma ya que el profe Jose Luis Turriza enfatisa en la menor paternidad para inducir su manejo apesar de el desconoserlo, junto con mi compañero observamos diferentes herramientas que su barra contenia como la marca de puntos de infexion o maximos y minimos de la funcion, siendo asi el procedimiento de desarrollo de manera muy generalizada en el conosimiento del uso del paquete , localizamos la hoja de calculo y comenzamos con el procediemiento requerido de la practica, en primer intancia debiamos hacer una funcion de manera logica a el leguje de la hoja de calculo que representara la funcion original o incial propuesta por nosotros o el profesor. Quedando entocnes la representacion de una celda en el valor maximo de la evalucion o lo que conosemos como el intervalo para luego este ir decrementando en una iteracion de uno con la sigiente formula, siendo A1= -5, para luego decir que la sigiente seria A1 menos 1 entonces esta tendria el valor de -4 y si iteramos con esta formula en el lunguaje de celdas que sabemos trasporta todo lo que contiene con a una celda inmediata asiendo todas las operaciones correspondientes llegaremos asta 5 como se muestra en la muestra del trabajo despues sabemos que cuando una funcion es evaluada nuestra variable independiente X tomara los valores requeridos asi que en este mismo luenguaje hisimos lo sigiente para reprentar nuestra funcion , por tanto poco a poco fuimos descubirndo los valores de nuestra funcion es esos puntos observamos tando de manera grafica como razonamiento de lso resultados que esta funcion es cintinua en todo el dominio y si forma se define y observa por las potencias que contiene, en la sigiente iteracion llevamos nuestro untervalo a un lugar mas pequeño y este nos mostro mas presicion y claridad en lso puntos cercanos a el origen pero en la busqueda de el limite a acer uestro intervalo con una diferencia de punto a punto de .0001 este valor ya no es tomando encuenta y nuestro moviemiento de la tabla se vuelve creo pues es lo que la maquina explicado en las practicas anteriores toma como ceros de maquina o decimales sin valor necesario para calculo.

Conclusion:

En la manera de la experimentacion que llevamos acabo en los procesos cotidianos , en mi opinion creo que todos estos metodos de calculo cuando desaparesen objetivos o momentos que talves en su contenido tiene algun caso especial de estudio de la funcion producen incetidumbres o epciolons de error que aveces cuestan demasiado a el desarrollo o asta vidas, por ejemplo el puente de tacoma narrow describia una funcion trasendente en su estuctura pero talves cuando se calculo mas aya de no contemplar como muchos piensan el factor de clima posiblemete si esa funcion tenia algun punto de interes pero en calculos como este fue desecahdo entonces pudo comenzar desde hay. Creo entonces que para llegar a ser mas exactos es obvio que debemos hacer estudios cada vez mas profundos y destallados ya que talves en casos de pureba o generales como este no hay precupacion pero que tal en economia o ingenieria de construccion donde por ese redondeo o eliminacion de decimales se provoca la caida de todo lo planeado.

lunes, 3 de septiembre de 2012

REGLA DE SIGNOS DE DESCARTES

Resumen:

La cantidad de raices reales positivas es igual al numero de cambios de signo de P(x) o disminuido en ese numero es una cantidad entera par.

La cantidad de raices reales negativas es igual al numero de cambios de signo P(-x) o disminuido en ese numero en una cantidad entera par.

Règle des signes de Descartes

- Le nombre réel positif de zéros est égal au nombre de variations dans le signe des coefficients non nuls de f (x).

* Exemple:

x ^ 3 + x ^ 2 à 10 ^ x + 8 2 positif

- Le nombre de zéros est égal au nombre de changements dans les signes des coefficients non nuls f (-x).

* Exemple:

-X ^ 3 + x ^ 2 + 10x + 8 1 négative

p / q = facteurs de dernier terme / facteurs du premier mandat

* Les zéros possibles de la fonction sont les suivantes: +, -, 1, 2, 3, 4, 8

Soit P un polynôme à coefficients réels:

- Si l'on divise P (x) entre xb (avec b> 0) par division de synthèse, et le reste est égal à zéro, alors b est égal à zéro fonction.

* Les zéros de la fonction sont les suivantes: 1, 2, -4

Regla de los signos de Descartes

La regla de los signos de Descartes nos ayuda a identificar el número posible de raíces reales de un polinomio p(x) sin graficar o resolverlas realmente. Dese cuenta por favor que esta regla no proporciona el número exacto de raíces del polinomio ni identifica las raíces del polinomio.
La regla establece que el número posible de las raíces positivas de un polinomio es igual al número de cambios de signo en los coeficientes de los términos o menor que los cambios de signo por un múltiplo de 2.
Por ejemplo, si hay 3 cambios de signo en los coeficientes de los términos del polinomio, entonces el número posible de raíces positivas del polinomiao es 3 o 1.
[Antes de aplicar la regla de los signos de Descartes, asegúrese de arreglar los términos del polinomio en orden descendente de exponentes.]

Ejemplo:

Encuentre el número de las raíces positivas del polinomio.
x³ + 3 x²– x – x⁴– 2
Arregle los términos del polinomio en orden descendente de los exponentes:
– x⁴ + x³ + 3 x²– x – 2
Cuente el número de cambios de signo:

Hay 2 cambios de signo en el polinomio, así que el número posible de raíces positivas del polinomio es 2 o 0.

Corolario de la regla de los signos de Descartes:

Primero reescriba el polinomio dado al sustituir – x por x . Esto es igual a anular los coeficientes de los términos de las potencias impares.
La regla del corolario establece que el número posible de las raíces negativas del polinomio original es igual al número de cambios de signo (en los coeficientes de los términos después de anular los términos de las potencias impares) o menor que los cambios de signo por un múltiplo de 2.

Ejemplo

Encuentre el número posible de raíces reales del polinomio y verifique.
x³– x²– 14 x + 24
Los términos del polinomio ya están en el orden descendente de exponentes.
Cuente el número de cambios de signo:

Hay 2 cambios de signo en el polinomio y el número posible de raíces positivas del polinomio es 2 o 0.
Digamos que el polinomio dado es f(x) y sustituya – x por x en el polinomio y simplifique:

Cuente el número de cambios de signo:

Hay 1 cambio de signo en el segundo polinomio. Así, del corolario de la regla de los signos de Descartes, el número posible de raíces negativas del polinomio original es 1.
El polinomio puede ser reescrito como: ( x – 2)( x – 3)( x + 4)
Podemos verificar que hay 2 raíces positivas y 1 raíz negativa del polinomio dado.
Dese cuenta por favor que las raíces repetidas de un polinomio son contadas por separado.
Por ejemplo, el polinomio
( x – 2)² , que puede ser escrito como x²– 2 x + 1, tiene 2 cambios de signo. Por lo tanto, el polinomio tiene 2 raíces positivas.

http://gaussianos.com/la-regla-de-los-signos-de-descartes/

Qué es la regla de los signos de Descartes

Supongamos que tenemos el polinomio $p(x)=x^5+3x^4-5x^2+x-7$ . Si igualamos $p(x)$ a 0 obtenemos la siguiente ecuación polinómica:

$x^5+3x^4-5x^2+x-7=0$

Ordenemos los coeficientes según el grado del monomio al que multiplican, colocando en primer lugar al que corresponde al de grado mayor. Obtendríamos la siguiente lista:

$\{1,3,0,-5,1,-7 \}$

Obviando el cero, tenemos que en esta lista se producen tres cambios de signo: del 3 al -5, del -5 al 1 y del 1 al -7. Llamando $C(p)$ al número de cambios de signo en la lista de coeficientes del polinomio $p(x)$ , tendríamos entonces que en este caso $C(p)=3$ .
Por otra parte, si utilizamos un programa informático para calcular las raíces de dicha ecuación (bueno, aproximaciones de las mismas), obtenemos que tiene una solución real positiva y cuatro soluciones complejas (dos parejas compleja-conjugada).
Lo que hace la regla de los signos de Descartes es relacionar el número de cambios de signo en la lista de coeficientes de una ecuación polinómica con el número de raíces positivas de dicha ecuación. Por desgracia no da una cantidad exacta de soluciones, sino que nos da una cota, aunque en muchas ocasiones dicha cota puede propocionar información muy interesante sobre la cantidad de raíces positivas de la ecuación. Vamos a enunciar esta regla:

Regla de los signos de Descartes
El número de raíces reales positivas de una ecuación polinómica con coeficientes reales igualada a cero es, como mucho, igual al número de cambios de signo que se produzcan entre sus coeficientes (obviamos los ceros).

Es decir, que el número de cambios de signos que se produzcan entre los coeficientes es una cota superior del número de raíces positivas de la ecuación. Por ejemplo, en el caso anterior la ecuación tendría como mucho tres soluciones reales positivas, ya que $C(p)=3$ . Pero se puede decir un poco más. No solamente tenemos una cota superior del número de raíces positivas de la ecuación, sino que sabemos que no se pueden tomar todos los valores marcados por dicha cota. De hecho sabemos que si la cota no se alcanza, entonces el número de raíces positivas de la ecuación difiere de ella un múltiplo de dos. En el ejemplo anterior esto significa que la ecuación puede tener tres raíces positivas o tener solamente una, pero no podría ocurrir que tuviera dos o que no tuviera ninguna.
La regla de los signos de Descartes fue propuesta por el filósofo y matemático francés René Descartes en su obra La Géométrie, de 1637, aunque no la demostró. Más adelante, en 1707, Isaac Newton reformuló dicha regla, aunque tampoco dio una demostración de la misma (se piensa que consideró demasiado trivial dicha demostración). La primera prueba conocida de este resultado se debe al matemático francés Jean-Paul de Gua de Malves, en 1740. Tuvo que ser nuestro admirado Gauss quien, en 1828, mostró que si no hay tantas soluciones como cambios de signo, entonces el número de soluciones difiere del número de cambios en un múltiplo de dos.

Demostración de la regla de los signos de Descartes

Vamos a terminar este artículo sobre la regla de los signos de Descartes dando una demostración de la misma. Supongamos que tenemos un polinomio $p(x)$ de grado n cuyo coeficiente líder (el coeficiente correspondiente al monomio de mayor grado) es 1 (no perdemos generalidad con esta suposición). Supondremos también que el término independiente del polinomio no es cero (esto es, que $p(0) \ne 0$ ), ya que si lo es podemos sacar factor común un término de la forma $x^k$ que después se puede eliminar.
Vamos a probar esta regla por inducción en n:

Para n=1, esto es, para polinomios de grado 1, el resultado es inmediato, ya que si la ecuación es $x-a=0$ con $a > 0$ (un cambio de signo) la única solución es $x=a$ (una solución positiva). Si es $x+a=0$ con $a > 0$ (ningún cambio de signo) la única solución es $x=-a$ (ninguna solución positiva).
Supongamos entonces que es un polinomio de grado , con coeficiente líder igual a 1 y con . Distinguimos dos casos:
1. Si $p(0) < 0$ , entonces el número de cambios de signo de la ecuación debe ser impar, ya que comenzamos en un número positivo, el 1, que es el coeficiente líder, y terminamos en un número negativo, $p(0)$ . Veamos que el número de raíces positivas de la ecuación también es impar:
  
  Como el grado del polinomio es n, se tiene que el término $x^n$ es el que marca la tendencia del polinomio para valores grandes de x. De hecho, para algún valor grande y positivo de x, digamos $x_0$ , se tiene que $p(x_0)$ es positivo, por lo que aplicando el teorema de Bolzano a $p(x)$ en el intervalo $[0,x_0]$ tenemos que existe al menos una raíz de $p(x)$ en el intervalo $(0,x_0)$ , esto es, positiva.
  Si llamamos k a esa raíz, se tiene que $p(x)=(x-k) \cdot q(x)$ , con $q(x)$ un polinomio de grado $n-1$ y tal que $q(0)=-k \cdot p(0)$ es positivo (dado que k es positivo y $p(0)$ es negativo). Aplicando la hipótesis de inducción a $q(x)$ obtenemos que ese polinomio tiene un número par de raíces positivas, por lo que $p(x)$ tiene un número impar de soluciones positivas (todas las que tiene $q(x)$ junto con k).
2. Vamos con el caso $p(0) > 0$ . Si la ecuación no tiene soluciones positivas, entonces la condición que queremos comprobar se cumple, ya que cero es un número par. En el caso de que la ecuación tenga alguna solución positiva, llamemos k a una de ellas. Como antes, tenemos que $p(x)=(x-k) \cdot q(x)$ , siendo $q(x)$ un polinomio de grado $n-1$ tal que $q(0)=-k \cdot p(0)$ es negativo (ya que k es positivo y $p(0)$ también). Podemos aplicar la hipótesis de inducción a $q(x)$ , lo que nos dice que ese polinomio tiene un número impar de raíces positivas. En consecuencia, $p(x)$ tiene un número par de raíces positivas (todas las de $q(x)$ junto con k).
Lo que nos dice todo esto es que el número de cambios de signo y el número de raíces positivas de un polinomio tiene la misma paridad (o los dos son pares o los dos son impares). Es decir, que esos dos números son iguales o difieren en un múltiplo de dos.
Nos queda probar que hay más cambios de signo que raíces positivas, es decir, que el número de cambios de signo es una cota superior del número de raíces positivas. Lo vemos:

Si hubiera más raíces positivas que cambios de signo en los coeficientes de $p(x)$ , entonces debería haber al menos dos raíces positivas más que el número de cambios de signo (por lo que hemos probado antes). Manteniendo la notación anterior, tenemos que al menos debería haber $C(p)+2$ raíces positivas.
Por otra parte, se tiene que $p^\prime (x)$ tiene al menos una raíz entre cada dos raíces de $p(x)$ (sabéis por qué, ¿verdad?). Por tanto habría al menos $C(p)+1$ raíces de $p^\prime (x)$ .
Pero $p^\prime (x)$ tiene como mucho tantos cambios de signo como $p(x)$ , es decir, $C(p)$ cambios a lo sumo, y además su grado es $n-1$ . En estas condiciones la hipótesis de inducción nos dice que dicho polinomio cumple la regla de los signos, es decir, cumple que tiene más cambios de signo que raíces positivas.
Llegamos entonces a una contradicción provocada por la suposición inicial. Por tanto hay más cambios de signo que raíces positivas.

Como comentario final, es interesante resaltar que si tomamos el polinomio $p(-x)$ y le aplicamos la regla de los signos de Descartes obtenemos una cota superior del número de soluciones negativas de $p(x)$ .
http://gaussianos.com/la-regla-de-los-signos-de-descartes/